First Course in Linear Algebra 2004

久保先生のホームページより

線形代数学 I - 2004

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授業科目名:線形代数学 I (First Course in Linear Algebra) (授業コード:14605)

授業科目区分:専門科目

対象学生:理学部数学科 1年次生

担当教員:久保文夫 (KUBO Fumio), 連絡先:電子メール(学内アドレスから発信されたメール以外は不可)

学期:後期, 単位数:2単位

開講曜日等: 月曜日・5限, 於 A239
開講曜日は月曜日であるが, 授業日程に従い, 第1回の講義は10月7日(木曜日)であるから間違わないように.

■ 授業概要(目的・ねらい)

前期に開講した線形代数学序論を発展させて, 「有限次元ユニタリ空間上のエルミート変換の標準化」の初等的な計算方法に習熟させ且つ初等的な理論展開を理解させる．

■ 授業方法

概ね板書による講義．

■ 理解度達成目標

有限次元ユニタリ空間の幾何学に習熟し初等的な理論を論理的に展開できること．
有限次元ユニタリ空間上のエルミート変換をその固有値と固有空間を用いて標準化する計算に習熟すること.
有限次元ユニタリ空間上の線形変換の固有値と固有空間について初等的な理論を展開できること．

■ 授業計画(授業スケジュ－ルと内容)

2-10 + Orientation
2-11 正則性とクラメルの公式 (non-singularity and Cramer's rule)
3-1 縦ベクトルの内積とノルム (the inner product and norm)
3-2 部分空間の正規直交基底 (orthonormal bases of subspaces)
3-3 グラム・シュミットの正規直交化 (Gram-Schmidt's orthonormalization)
3-4 ユニタリ空間上の線形変換の核と値域 (the kernel and the range of a linear transformation)
3-5 ユニタリ空間上のエルミート変換・ユニタリ変換・射影変換 (Hermitian and unitary transformations, orthogonal projections)
Intermezzo
3-6 ユニタリ空間上の線形変換の固有値・固有ベクトル・固有空間 (eigenvalues, eigenvectors and eigenspaces of aa linear transformation)
3-7 エルミート変換の固有値・固有ベクトル・固有空間
3-8 エルミート変換の標準化 --- 1 (diagonalization of Hermitian transformations with simple eigenvalues)
3-9 エルミート変換の標準化 --- 2 (diagonalization of Hermitian transformations)
Finale 線形変換の絶対値と極分解 (the absolute value and the polar decomposition of a linear transformation)
期末試験(2005.01.31実施),
Evaluation Meeting(2005.02.07実施予定)

■ キーワード

有限次元ユニタリ空間 (finite dimensional unitary spaces),
内積 (the unitary inner product),
ノルム (the l² norm),
直交 (orthogonality/perpendicularity),
ピタゴラスの定理 (thePythagorean theorem),
正規直交系 (orthonormal systems),
正規直交基底 (orthonormal bases),
グラム・シュミットの正規直交化,
線形変換の核 (the kernel of a linear transformation),
線形変換の値域 (the range/image of a linear transformation),
エルミート変換 (Hermitian transformations),
ユニタリ変換 (unitary transformations),
射影変換 (orthogonal projections),
線形変換の固有値 (eigenvalues of a linear transformation),
固有値に属する固有ベクトル (eigenvectors of a linear transformation associated with an eigenvalue),
固有値に属する固有空間 (eigenspaces of a linear transformation associated with an eigenvalue),
標準形 (cannonical forms),
対角化 (diagonalization),
エルミート変換のfunctional calculus (the functional calculus of a Hermitian transformation),
線形変換の絶対値 (the absolute value of a linear transformation),
線形変換の極分解 (the polar decomposition of a linear transformation).

■ 成績評価方法:

「線形代数学 I」及び「線形代数学 I 演習」の成績を総合して判定する. どちらか一方だけの合格はあり得ない.
評価項目(出席, 小テスト成績, 期末試験成績, 演習参加状況) を(3,5,14,8)程度の比率で評価する．
演習参加状況は演習問題のC,B,Aの何れにチャレンジしたか, チャレンジした問題へのアプローチの仕方等により判定する.

■ 履修上の注意

線形代数学に限らず数学のいかなる分野でも講義を聞きっぱなしにしただけでは何も身に付かない．
自ら紙と鉛筆を持って，計算し，証明し，論理構成を変更してよりよい理論展開を自ら創り出す努力を惜しんではならない．

■ 教材(使用テキスト)

教科書は指定しない

参考書著者, 表題(シリーズ名及び番号), 出版社, ISBN

佐武一郎, 線型代数学, (数学選書 1), 裳華房, ISBN 4-7853-1301-3
P.R. Halmos, Finite-Dimensional Vector Spaces, (UTM), Springer-Verlag, ISBN 3-540-90093-4
G.F.Zhang, Linear Algebra --- Challenging Problems for Students, John Hopkins University Press, ISBN 0-8018-5459-8
R.A.Horn and C.Johnson, Topics in Matrix Analysis, Cambridge University Press, ISBN 0-521-46713-6
石川剛郎・上見練太郎・泉屋周一・三波篤郎・陳蘊剛(Chen Yun-Gang)・西森敏之, 線形写像と固有値, 共立出版, ISBN 4-320-01519-3

■ 受講要件: 理学部数学科

オープン・クラス受講可否:可 / 単位互換受講可否:否

■ オフィスアワー(自由質問時間):要アポイントメント
上記連絡先(電子メール)に質問内容のあらましを書いてアポイントメントを取ること．
必ず署名し, 内容が一目瞭然の表題をつけること．
携帯電話や外部プロヴァイダの電子メールは不可．
必ず富山大学総合情報基盤センターのアカウントで電子メールを送信すること．
(迷惑メールが多いのでそれ以外のアカウントからのメールは無視する．)

■ コメント

小テストの解答例など配布物は各自で上記リンクホームページ先アドレスから印刷して持参すること．
数学学習の支援に使えるMathematicaという「数式処理」ソフトウェアが富山大学総合情報基盤センターの端末機にインストールされている．
利用は情報処理科目のテキスト(表紙写真)のほか次の図書を参考に：

榊原進, はやわかりMathematica 第2版, 共立出版, ISBN 4-320-02987-9,
森谷良二，Mathematicaで数学を - 線形代数編 - ，海文堂， ISBN 4-303-72800-4.

■ その他

講義内容は参加する学生の質に応じてフレキシブルに変更する場合がある．
「線形代数学 I演習」(必修2単位： 1年後期，担当教官/久保文夫・幸山直人)と連携している．
「線形代数学 I演習」のクラス分けは,

0440010011-0440010263及び再履修者で学籍番号を10で割った商が奇数の者:(I) 幸山組,
0440010272-0440010512及び再履修者で学籍番号を10で割った商が偶数の者:(II) 久保組.

■ 春休み中の学習の参考

4月からの「線形代数学II」は「3-5 ユニタリ空間上のエルミート変換・ユニタリ変換・射影変換」, 「3-6 ユニタリ空間上の線形変換の固有値・固有ベクトル・固有空間」, 「3-7 エルミート変換の固有値・固有ベクトル・固有空間」, 「3-8 エルミート変換の標準化」, ... 「抽象的な線形空間論」の講義である. 期末試験の問題のうち, 線形変換の核の正規直交基底を求める事が出来なければ「固有値問題」乃至「エルミート変換の対角化」は理解できない.

下記の練習問題集から「行列の核の基底と正規直交基底を求める計算練習」の問題を数多く試しておくことを薦める. 行列のサイズや行列の要素に応じて夫々に充分に沢山の問題を用意してある.

■ リンク

計算問題のうち大きなファイルは短く切ってリンクしてあるがクリックしても「ページを表示できません」と表示されるのは PDF化が済んでいないものである.

幸山先生のページ|　線形代数学 I 演習 2004|　線形代数学序論 2004|　線形代数学序論演習 2004|　富山大学数学図書室|　
How to use MATHEMATICA in Linear Algebra
「線形代数学I演習」用問題集
第2章10(08.20配布)|第2章10修正版(10.08配布)(C-(4)訂正)| |第2章10再修正版(11.08配布)(A-(1)訂正)| 幸山先生のアドヴァイス|
- 行列式の計算練習その0| その1| その2| その3| その4|
第2章11(09.16配布)|第2章11修正版(10.08配布)|(節番号の變更)|幸山先生のアドヴァイス|
- 余因子行列を求める計算練習|
- Cofactor により逆行列を求める計算練習その1|その2(問題)|その2(解答つき)|
第2章12(09.16配布)|
- クラメルの公式の計算練習
  M₂(Z)| M₂(Z)| M₂(Q)| M₂(Z+iZ)| M₂(Q+iQ)|
  M₃(Z)| M₃(Z)| M₃(Q)| M₃(Z+iZ)| M₃(Q+iQ)|
  M₄(Z)| M₄(Z)| M₄(Q)| M₄(Z+iZ)| M₄(Q+iQ)|
  M₅(Z)| M₅(Z)| M₅(Q)| M₅(Z+iZ)| M₅(Q+iQ)|
  M₆(Z)| M₆(Z)| M₆(Q)| M₆(Q)| M₆(Z+iZ)| M₆(Q+iQ) (pp.1-1000)| (pp.1001-1989)|
  M₇(Z)| M₇(Z)| M₇(Q) (pp.1-1000) | (pp.1001-2000)| (pp.2001-2243)|
  M₇(Z+iZ) (pp.1-1000) | (pp.1001-2001)|
  M₇(Q+iQ) (pp.1-1000) | (pp.1001-2000)| (pp.2001-2330)|
  M₈(Z) (pp.1-1000) | (pp.1001-2000)| (pp.2001-2501)|
  M₈(Z) (pp.1-1000) | (pp.1001-2000)| (pp.2001-2501)|
  M₈(Q) (pp.1-1000) | (pp.1001-2000)| (pp.2001-2689)|
  M₈(Z+iZ) (pp.1-1000) | (pp.1001-2000)| (pp.2001-2501)|
  M₈(Q+iQ) (pp.1-1000) | (pp.1001-2000)| (pp.2001-2501)|
  M₉(Z) pp.1-1000| pp.1001-2000| pp.2001-3001|
  M₉(Z) pp.1-1000| pp.1001-2000| pp.2001-3001|
  M₉(Q) (pp.1-1000) | (pp.1001-2000)| (pp.2001-3000)| (pp.3001-3334)|
  M₉(Z+iZ) (pp.1-1000) | (pp.1001-2000)| (pp.2001-2751)|
  M₉(Q+iQ) (pp.1-1000) | (pp.1001-2000)| (pp.2001-2501)|
第3章02(10.08配布)|02修正版(3.2.2.B (1), 10.17配布)|
- ユニタリ内積の計算練習
  Zⁿ|
  Qⁿ (pp.1-136)| (pp.137-302)| (pp.303-517)| (pp.518-768)| (pp.769-1339)| (pp.1340-2006)| (pp.2007-2806)| (pp.2807-3806)|
  (Z+iZ)ⁿ (pp. 1- 694)| (pp. 695-1765)| (pp.1765-2432)| (pp.2433-3232)| (pp.3233-4032)|
  (Q+iQ)ⁿ (pp. 1- 137)| (pp. 138- 470)| (pp. 471- 900)| (pp. 901-1400)| (pp.1401-1971)| (pp.1972-2638)| (pp.2639-3438)| (pp.3439-4277)|
第3章 -03 (10.29配布)|03修正(12.03配布)[3.3.1.Cの問題文の訂正]| 03追加(11.27配布)
- 線形独立性を確かめる計算練習
  目次| 01| 02| 03| 04| 05| 06| 07| 08| 09| 10| 11| 12| 13| 14| 15| 16| 17| 18| 19| 20| 21| 22| 23| 24| 25| 26| 27| 28| 29| 30| 31| 32| 33| 34-1| 34-2| 35-1| 35-2| 36-1| 36-2| 36-3| 36-4
第3章04(10.29配布)|
- グラムシュミットの正規直交化過程の計算練習
  Z²| Q²| (Z+iZ)²| (Q+iQ)²|
  Z³| Q³| (Z+iZ)³| (Q+iQ)³|
  Z⁴| Q⁴| (Z+iZ)⁴|
  Z⁵| (1)| (2)| Q⁵| (1)| (2)| (3)|
  Z⁶(pp.1-811)| Z⁶(pp.812-1621)| Z⁶(pp.1622-2401)| Z⁶(pp.2402-3007)|
第3章05(12.06配布)|
- 行列の核の基底と正規直交基底を求める計算練習
  M₂(Z)| M₂(Q)| M₂(Z+iZ)| M₂(Q+iQ)| | M₃(Z)| M₃(Q)| M₃(Z+iZ)| M₃(Q+iQ)|
  M₄(Z)| M₄(Q)| M₄(Z+iZ)| M₄(Q+iQ)| | M₅(Z)| M₅(Q)| M₅(Z+iZ)| M₅(Q+iQ)|
  M₆(Z)| M₆(Q)| M₆(Z+iZ) (pp. 1-1000)| (pp.1001-1273)|
  M₆(Q+iQ) (pp. 1-1000)| (pp.1001-1256)|
  M₇(Z)| M₇(Q) (pp. 1-1000)| (pp.1001-1520)|
  M₇(Z+iZ) (pp. 1-1000)| (pp.1001-1622)|
  M₇(Q+iQ) (pp. 1-1000)| (pp.1001-1710)|
  M₈(Z) (pp. 1-1000)| (pp. 1001-1981)|
  M₈(Q) (pp. 1-1000)| (pp. 1001-1930)|
  M₈(Z+iZ) (pp. 1-1000)| (pp. 1001-2000)| (pp. 2001-2096)|
  M₈(Q+iQ) (pp. 1-1000)| (pp. 1001-1745)|
  M₉(Z) (pp. 1-1000)| (pp. 1001-2000)| (pp. 2001-2412)|
  M₉(Q) (pp. 1-1000)| (pp. 1001-2000)| (pp. 2001-2468)|
  M₉(Z+iZ) (pp. 1-1000)| (pp. 1001-2000)| (pp. 2001-2127)|
  M₉(Q+iQ) (pp. 1-1000)| (pp. 1001-1505)|
第3章06(12.06配布)|
線形代数学序論演習用問題集(再掲)
01(04.15配布)|　 02(04.22配布)|　 03(05.12配布)|　 04(05.20配布)|
05(06.02配布)|　 07(06.16配布)|　 08(07.01配布)|　 09(07.07配布)|
1回目の講義の参考 (PDF-file)(2004.10.21配布)
講義の参考[第3章第1節(序)] (PDF-file)(2004.10.29配布)
講義の参考[第3章第2節] (PDF-file)(2004.11.01配布)
講義の参考[第3章第3節] (PDF-file)(2004.11.17配布)
講義の参考[第3章第4節] (PDF-file)(2004.12.06配布)
講義の参考[第3章第5節の例] (PDF-file)(2004.12.14配布)
講義時配布資料[値域の基底を求める例] (PDF-file)(2004.12.20印刷配布)
数学の論理 (PDF-file)(2004.10.29配布)
「証明」とは? (PDF-file)(2004.11.12配布)
講義Quizzの問題と解答例(実施日) 01(10.07)| 02(10.18)| 03(10.25)| 04(11.01)| 05(11.08)| 06(11.15)| 06+0.5(11.22)| 07(11.29)| 08(12.06)| 09(12.13)| 10(12.20)| 11(01.24)|
演習Quizzの問題と解答例(実施日) 01(10.08)| 02(10.15)| 03(10.22)| 04(10.29)| 05(11.05)| 06(11.12)| 06+0.5(11.19)| 07(11.26)| 08(12.03)| 09(12.10)| 10(12.17)| 11(01.07)| 期末試験(講義と演習):問題と解答例(01.31).
11月5日の「線形代数学I演習」クラス(II)の受講者に久保の50分もの遅刻をお詫びします.
Exercises of Numerical Manipulations in DVI-files and PDF-files.
数学でのアクセント記号|　総和記号Σについて(from S.K. Berberian, ``Introduction to Hilbert space'')
ギリシャ文字(PDF)|　書き方(PDF)|　 Penmanship(pp. 1-3)(PDF)|
2文字から8文字の置換全体(HTML)|　 n次置換行列(n <= 7)全体(PDF)|　 8次置換行列全体(DVI)|
質問のあった事項に関して:
- 次元について
- Chronological List of Mathematicians(web-page in USA)
- The MacTutor History of Mathematics archive(web-page in UK) |Indexes of Biographies |Names beginning with C コーシーの肖像を見たければＣで始まる名前の頁でCauchyを探す.
- ``J.H.M. Wedderburn, Lectures on Matrices, American Mathematical Society Colloquium Publications Volume 17, American Mathematical Society, Providence, Rhode Island. 1934'' is available at American Mathematical Society,Books on Line.
- ``R.F. Scott, The Theory of Determinants, Cambridge University Press, 1904'' is available at Cornell University Library.
- ``W.S. Burnside, An Introduction to Determinants, Being a Chapter from the Theory of Equations, Hodges Figgis, 1899'' is available at Cornell University Library.
- ``Edwin H. Connell, Elements of Abstract and Linear Algebra '' is also available on the Internet.
- American Mathematical Society
- 日本数学会(入会申込書は数学教室にある)
- 日本応用数理学会(Web page から入会可能)
- 日本数学教育学会
- 日本数学教育協議会
英語文献を読むために:
- 九州大学大学院言語文化研究院英語共通教科書編集委員会, A Passage to English (大学生のための基礎的英語学習情報), 九州大学出版会, ISBN4-87378-653-3 C3082 \2900E, (表紙写真).
- M. Bensoussan and J.S. Golan, Eiglish for Students of Mathematics, 丸善, ISBN4-621-04318-8 C3041 \2000E, (表紙写真).

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線形代数学 I - 2004